Kapittel 5 · Trigonometri og geometri · 5.3

Enhetssirkelen

De to forrige seksjonene bandt sinus, cosinus og tangens til spisse vinkler i en rettvinklet trekant. Men en vinkel trenger ikke være spiss. Et prisme kan bøye lyset gjennom mer enn $90°$ , en meridian kan peke hvor som helst rundt hornhinnen, og et punkt i synsfeltet kan ligge langt utenfor første kvadrant. For å regne med slike vinkler trenger vi en definisjon som gjelder rundt hele sirkelen – og den får vi ved å flytte trekanten inn i koordinatsystemet.

Sinus og cosinus som koordinater

Enhetssirkelen er sirkelen med radius $1$ og sentrum i origo. Tegn en vinkel $\theta$ med toppunkt i origo, det ene benet langs den positive $x$ -aksen og det andre dreid mot klokka – retningen som ble fastsatt for alle vinkler i planet i kapittelet om vektorer og koordinatsystemer. Det dreide benet skjærer sirkelen i ett punkt; kall det $P$ .

Vi definerer da cosinus og sinus til $\theta$ som koordinatene til $P$ :

P=(\cos\theta,\ \sin\theta).

Cosinus er $x$ -koordinaten, sinus er $y$ -koordinaten.

Figur 5.7: Radien er

1

, så koordinatene til

P

er selve verdiene

\cos\theta

\sin\theta

Dette utvider trekantdefinisjonen fra forrige seksjon i stedet for å erstatte den. For å se det, se på en vinkel $\theta$ i første kvadrant – den øvre høyre firedelen av planet, der både $x$ og $y$ er positive. Feller vi en loddrett strek fra $P$ ned til $x$ -aksen, får vi en rettvinklet trekant med hjørne i origo. Hypotenusen er strekket fra origo til $P$ , altså radien $1$ . Den vannrette kateten er hosliggende $\theta$ og har lengde lik $x$ -koordinaten; den loddrette er motstående og har lengde lik $y$ -koordinaten. Trekantdefinisjonen gir da

	$\displaystyle\cos\theta$	$\displaystyle=\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}=\frac{x}{1}=x,$
	$\displaystyle\sin\theta$	$\displaystyle=\frac{\text{motst\r{a}ende}}{\text{hypotenus}}=\frac{y}{1}=y,$

nøyaktig koordinatene til $P$ . Fordi hypotenusen er $1$ , forsvinner nevneren, og de to definisjonene faller sammen. Utenfor første kvadrant finnes det ingen rettvinklet trekant med vinkelen $\theta$ inni seg – men koordinatdefinisjonen bryr seg ikke om det, og den er nå den vi bygger videre på.

Ett resultat leser vi rett av figur 5.7. Punktet $(\cos\theta,\sin\theta)$ ligger på sirkelen med radius $1$ , så avstanden fra origo er $1$ . Husk avstandsformelen fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer: avstanden fra origo til $(x,y)$ er $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Setter vi den lik $1$ og kvadrerer, får vi

\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,

en sammenheng som gjelder for enhver vinkel. Dette er Pythagoras’ setning i forkledning – $x^{2}+y^{2}=1$ for et punkt på enhetssirkelen – og vi kommer tilbake til den i neste seksjon.

Eksempel 5.3.1

Les av koordinatene til punktet på enhetssirkelen for $θ=60°$ , og bekreft at de gir de samme verdiene som tabellen i forrige seksjon.

Løsning: Punktet er $(cos60°,sin60°)$ . Fra spesialtrekantene har vi $cos60°=12$ og $sin60°=32$ , så punktet er

\underline{\underline{\left(\tfrac{1}{2},\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}}.

Det ligger i første kvadrant, der begge koordinatene er positive – akkurat som en spiss vinkel skal gi.

Fortegn og referansevinkler

Utenfor første kvadrant kan koordinatene være negative, og da blir sinus eller cosinus negativ. Fortegnet følger rett av hvilken kvadrant punktet $P$ havner i – de fire firedelene planet deles i av aksene, talt mot klokka fra øvre høyre:

•

Første kvadrant, $0°$ – $90°$ : $x>0$ og $y>0$ , så både $\cos$ og $\sin$ er positive.
•

Andre kvadrant, $90°$ – $180°$ : $x<0$ , $y>0$ , så $\cos<0$ men $\sin>0$ .
•

Tredje kvadrant, $180°$ – $270°$ : $x<0$ , $y<0$ , så både $\cos$ og $\sin$ er negative.
•

Fjerde kvadrant, $270°$ – $360°$ : $x>0$ , $y<0$ , så $\cos>0$ men $\sin<0$ .

Tangens arver fortegnet fra brøken $\sin\theta/\cos\theta$ : den er positiv der sinus og cosinus har samme fortegn (første og tredje kvadrant) og negativ der de har motsatt (andre og fjerde).

Figur 5.8: Fortegnene til

\cos

\sin

\tan

i hver av de fire kvadrantene.

For å finne selve tallverdien utenfor første kvadrant bruker vi referansevinkelen: den spisse vinkelen mellom det dreide benet og $x$ -aksen. Tallverdien til $\cos$ , $\sin$ og $\tan$ for en hvilken som helst vinkel er lik verdien for referansevinkelen; bare fortegnet skiller, og det bestemmes av kvadranten. Ligger $\theta$ i andre kvadrant, er referansevinkelen $180°−θ$ ; i tredje er den $θ−180°$ ; i fjerde er den $360°−θ$ .

Da kan vi lese av verdiene rundt hele sirkelen fra de tre spesialtrekantverdiene alene. For $120°$ , som ligger i andre kvadrant, er referansevinkelen $180°−120°=60°$ , og cosinus er negativ der:

	$cos120°$	$=−cos60°=−12,$
	$sin120°$	$=+sin60°=32.$

Aksevinklene $0°$ , $90°$ , $180°$ og $270°$ leser vi rett av koordinatene: $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(-1,0)$ og $(0,-1)$ . Samlet gir det verdiene rundt sirkelen, som du bør kunne finne fram til – ikke pugge:

$\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\tan\theta$
$0°$	$1$	$0$	$0$
$30°$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$0$	$1$	—
$120°$	$-\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$-\tfrac{1}{\sqrt{3}}$
$180°$	$-1$	$0$	$0$
$270°$	$0$	$-1$	—

Verdiene fra $210°$ til $330°$ finner du på samme vis: samme referansevinkel som speilbildet i øvre halvdel, med fortegn fra tredje eller fjerde kvadrant.

Eksempel 5.3.2

Finn eksakt $cos135°$ og $sin210°$ uten kalkulator, ved hjelp av referansevinkel og kvadrantfortegn.

Løsning: Vi finner for hver vinkel kvadranten, referansevinkelen og fortegnet. $135°$ ligger i andre kvadrant; referansevinkelen er $180°−135°=45°$ , og cosinus er negativ der, så

cos135°=−cos45°=−22.

$210°$ ligger i tredje kvadrant; referansevinkelen er $210°−180°=30°$ , og sinus er negativ der, så

sin210°=−sin30°=−12.

Legg merke til at tallverdiene $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ og $\tfrac{1}{2}$ er de samme som i første kvadrant – bare fortegnet er nytt.

Negative vinkler og vinkler over en hel runde

Koordinatdefinisjonen tar imot en hvilken som helst vinkel, også negative og slike som overstiger $360°$ . En negativ vinkel måler vi med klokka fra den positive $x$ -aksen – motsatt vei av den positive retningen. Og legger vi til eller trekker fra en hel omdreining, $360°$ , kommer vi tilbake til nøyaktig samme punkt $P$ på sirkelen. Vinkler som lander på samme punkt kaller vi koterminale, og de har derfor akkurat samme cosinus, sinus og tangens.

Dette er periodisiteten som gjør trigonometri til det naturlige språket for alt som gjentar seg. For eksempel er $400°=40°+360°$ , én hel runde mer enn $40°$ , så

sin400°=sin40°,cos400°=cos40°.

På samme vis er $−30°$ koterminal med $330°$ , siden $−30°+360°=330°$ .

Her kan det være verdt å se tilbake på den stjernemerkede seksjonen om koordinattransformasjoner i forrige kapittel. Møtte du der polarkoordinatene $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ og rotasjonsformlene, ser du nå hvor $\cos\theta$ og $\sin\theta$ i dem kommer fra: de er nettopp koordinatene til punktet én enhet ut i retningen $\theta$ – enhetssirkelpunktet – ganget opp med radien $r$ .

Eksempel 5.3.3

Avgjør uten kalkulator fortegnet til $cos200°$ , $sin200°$ og $tan200°$ , og finn deretter en positiv vinkel under $360°$ som er koterminal med $−160°$ .

Løsning: Vinkelen $200°$ ligger mellom $180°$ og $270°$ , altså i tredje kvadrant. Der er $x<0$ og $y<0$ , så

cos200°<0,sin200°<0.

Tangens er kvotienten av to negative tall, og blir dermed positiv:

tan200°=sin200°cos200°>0.

For den koterminale vinkelen legger vi til en hel runde til $−160°$ :

−160°+360°=200°.

Ikke tilfeldig havnet vi på samme vinkel: $−160°$ og $200°$ peker mot samme punkt, så de deler alle tre fortegnene vi nettopp fant.

Oppgaver

Oppgave 5.3.1

a)

Skriv av og fyll ut fortegnene ( $+$ eller $-$ ) til $\cos\theta$ , $\sin\theta$ og $\tan\theta$ i hver av de fire kvadrantene.
b)

Avgjør uten kalkulator fortegnet til $cos250°$ , $sin250°$ og $tan250°$ , og begrunn hvert svar med hvilken kvadrant vinkelen ligger i.

Løsningsforslag

Oppgave 5.3.1:

a)

Fortegnene følger av koordinatene til punktet $P$ i hver kvadrant:

Kvadrant $\cos\theta$ $\sin\theta$ $\tan\theta$

Første ( $0°$ – $90°$ ) $+$ $+$ $+$

Andre ( $90°$ – $180°$ ) $-$ $+$ $-$

Tredje ( $180°$ – $270°$ ) $-$ $-$ $+$

Fjerde ( $270°$ – $360°$ ) $+$ $-$ $-$
b)

$250°$ ligger mellom $180°$ og $270°$ , altså i tredje kvadrant. Der er $x<0$ og $y<0$ , så cosinus og sinus er begge negative; tangens er kvotienten av to negative tall og dermed positiv:

$cos250°<0,sin250°<0,tan250°>0.$

Kvadrant	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\tan\theta$
Første ( $0°$ – $90°$ )	$+$	$+$	$+$
Andre ( $90°$ – $180°$ )	$-$	$+$	$-$
Tredje ( $180°$ – $270°$ )	$-$	$-$	$+$
Fjerde ( $270°$ – $360°$ )	$+$	$-$	$-$

Oppgave 5.3.2

Finn eksakt verdi uten kalkulator, og vis for hver hvilken referansevinkel og hvilket fortegn du bruker:

a)

$cos150°$ .
b)

$sin225°$ .
c)

$tan240°$ .
d)

$cos300°$ .

Løsningsforslag

Oppgave 5.3.2:

a)

$150°$ ligger i andre kvadrant; referansevinkelen er $180°−150°=30°$ , og cosinus er negativ der:

$cos150°=−cos30°=−32.$
b)

$225°$ ligger i tredje kvadrant; referansevinkelen er $225°−180°=45°$ , og sinus er negativ der:

$sin225°=−sin45°=−22.$
c)

$240°$ ligger i tredje kvadrant; referansevinkelen er $240°−180°=60°$ , og tangens er positiv der (sinus og cosinus har samme fortegn):

$tan240°=+tan60°=3.$
d)

$300°$ ligger i fjerde kvadrant; referansevinkelen er $360°−300°=60°$ , og cosinus er positiv der:

$cos300°=+cos60°=12.$

Oppgave 5.3.3

Et punkt på enhetssirkelen har $\cos\theta=-\tfrac{3}{5}$ , og $\theta$ ligger i andre kvadrant.

a)

Bruk $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ til å finne $\sin\theta$ . Hvilket fortegn må du velge, og hvorfor?
b)

Finn deretter $\tan\theta$ .

Løsningsforslag

Oppgave 5.3.3:

a)

Identiteten gir

$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=1-\left(-\tfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25},$

så $\sin\theta=\pm\tfrac{4}{5}$ . I andre kvadrant er $y>0$ , så sinus er positiv, og vi må velge plusstegnet:

$\sin\theta=\underline{\underline{\tfrac{4}{5}}}.$
b)

Tangens er kvotienten:

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\tfrac{4}{5}}{-\tfrac{3}{5}}=\underline{\underline{-\tfrac{4}{3}}},$

som stemmer med at tangens er negativ i andre kvadrant.

Oppgave 5.3.4

En medstudent påstår: « $sin400°$ må være noe helt annet enn $sin40°$ , for $400°$ er en mye større vinkel.» Er påstanden riktig? Begrunn med enhetssirkelen, og forklar hva som er sant og hva som er feil i resonnementet.

Løsningsforslag

Oppgave 5.3.4: Påstanden er ikke riktig. Siden $400°=40°+360°$ , er de to vinklene koterminale: én hel omdreining ekstra bringer det dreide benet tilbake til nøyaktig samme punkt $P$ på enhetssirkelen. Sinus er $y$ -koordinaten til $P$ , og samme punkt gir samme koordinat, så $sin400°=sin40°$ . Det sanne i resonnementet er at $400°$ er en større vinkel – den beskriver mer dreining. Det gale er antakelsen om at sinusverdien vokser med vinkelen: verdien avhenger bare av hvor punktet $P$ lander, og det gjentar seg for hver hele runde på $360°$ . Konklusjon: påstanden er feil; $sin400°=sin40°$ .

Oppgave 5.3.5

Velg selv en vinkel mellom $180°$ og $360°$ .

a)

Be om eksakt $\cos$ , $\sin$ og $\tan$ til vinkelen din, og skriv fullstendig fasit med referansevinkel og kvadrantfortegn for hver.
b)

Finn i tillegg en negativ vinkel som er koterminal med den du valgte.

Løsningsforslag

Oppgave 5.3.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: sjekk at referansevinkelen er regnet med riktig kvadrantformel ( $θ−180°$ i tredje kvadrant, $360°−θ$ i fjerde), at fortegnene til $\cos$ , $\sin$ og $\tan$ følger kvadranten, og at den negative koterminale vinkelen framkommer ved å trekke $360°$ fra den valgte vinkelen.

Alle løsningsforslag til kapittel 5