Trigonometriske funksjoner

La $\theta$ vokse fra $0\mathrm{°}$ og oppover, og følg $y$-koordinaten til punktet som beveger seg rundt enhetssirkelen mot klokka. Den starter i $0$ ved $0\mathrm{°}$, stiger til $1$ ved $90\mathrm{°}$ (toppen av sirkelen), tilbake til $0$ ved $180\mathrm{°}$, ned til $-1$ ved $270\mathrm{°}$, og opp igjen til $0$ ved $360\mathrm{°}$. Det er grafen til $\sin \theta$. Cosinus er $x$-koordinaten og gjør det samme forskjøvet: den starter i $1$, faller til $0$ ved $90\mathrm{°}$, til $-1$ ved $180\mathrm{°}$, og tilbake.

To trekk ved kurvene fortjener navn. Begge svinger mellom $-1$ og $1$; halve avstanden fra bunn til topp – her $1$ – kaller vi amplituden. Og begge gjentar seg selv nøyaktig etter én runde: legger du til $360\mathrm{°}$ ($2\pi$ radianer) på vinkelen, er du tilbake til samme verdi. En funksjon som gjentar seg slik, kalles periodisk, og lengden på ett helt mønster er perioden. For sinus og cosinus er perioden $360\mathrm{°}$, altså $2\pi$ radianer.

Sammenligner du de to kurvene, ser du at de er identiske i form, bare forskjøvet: cosinus er sinus flyttet $90\mathrm{°}$ mot venstre, så $\cos \theta =\sin (\theta +90\mathrm{°})$. Formen deres kommer igjen overalt der noe svinger jevnt. Vi møter den for fullt i kapittelet om bølger, der harmonisk bevegelse – en fjær som svinger, en lydbølge, lyset selv – beskrives med nettopp sinus og cosinus; her legger vi grunnlaget.

Tangens oppfører seg annerledes, og grunnen ligger i definisjonen $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$. Der cosinus er null, ber brøken oss dele på null – og det er, husk fra kapittelet om de vanlige regneoperasjonene, ikke tillatt. Cosinus er null når punktet på enhetssirkelen ligger rett over eller rett under origo, altså ved $90\mathrm{°}$ og $270\mathrm{°}$, og mer generelt ved $90\mathrm{°}+n\cdot 180\mathrm{°}$ for et helt tall $n$. Der er tangens udefinert.

Nærmer vi oss en slik vinkel, vokser tangens uten grense. Rett under $90\mathrm{°}$ er cosinus et bittelite positivt tall og sinus nær $1$, så brøken blir enormt stor: $\tan 89\mathrm{°}\approx 57$, $\tan 89.9\mathrm{°}\approx 573$. Grafen har derfor en loddrett asymptote – en linje kurven nærmer seg uten å nå – ved hver slik vinkel. Og fordi $\sin$ og $\cos$ begge skifter fortegn samtidig hver halve runde, gjentar tangens seg alt etter $180\mathrm{°}$: perioden er $180\mathrm{°}$, ikke $360\mathrm{°}$.

Sinuskurven vi tegnet, hadde amplitude $1$ og periode $360\mathrm{°}$. To enkle grep endrer på det. Ganger vi funksjonen med et tall $a$, strekkes kurven loddrett: $y=a\sin \theta$ svinger mellom $-a$ og $a$, så amplituden blir $\left|a\right|$. Ganger vi i stedet vinkelen med et tall $b$ inni sinusen, presses kurven sammen vannrett: $y=\sin (b\theta )$ gjennomløper en hel periode raskere, og perioden blir

Jo større $b$, jo tettere svingninger. Satt sammen har $y=a\sin (b\theta )$ amplitude $\left|a\right|$ og periode $360\mathrm{°}/\left|b\right|$. For eksempel har $y=3\sin (2\theta )$ amplitude $3$ og periode $360\mathrm{°}/2=180\mathrm{°}$, mens $y=2\sin (\theta /2)$ har amplitude $2$ og periode $360\mathrm{°}/\frac{1}{2}=720\mathrm{°}$.

Denne skaleringen er ikke bare formmanipulasjon. Den beskriver et fysisk mønster optometristen møter direkte.

Én vanlig måte å måle en pasients evne til å skille svake kontraster på, bruker ikke svarte bokstaver på hvit bunn, men et sinusgitter – et stripemønster der lysstyrken (luminansen) veksler jevnt mellom lyst og mørkt etter en sinuskurve i stedet for i skarpe kanter [34, s. 2]. Går du på tvers av stripene, følger luminansen en profil på formen $L(x)=L_0+a\sin (bx)$, der $x$ er posisjonen: $L_0$ er middelluminansen, $a$ styrer hvor dypt det veksler mellom lyst og mørkt, og $b$ setter hvor tett stripene ligger. Én syklus er én lys pluss én mørk stripe – én hel periode av sinusen.

Hvor tett stripene virker for øyet, avhenger ikke bare av gitteret, men av hvor langt unna det står – for det er synsvinkelen som teller, ikke den fysiske bredden. Derfor måles gitterets finhet i romlig frekvens: antall sykler per grad synsvinkel, forkortet cpd (fra engelsk cycles per degree). Husk broen fra synsvinkelseksjonen, $\tan v=h/d$: samme fysiske gitter dekker en mindre synsvinkel jo lenger unna det holdes, så det får flere sykler per grad – det virker finere – når avstanden øker. Lav romlig frekvens betyr brede striper, høy frekvens smale.

En tommelfingerregel binder dette til noe håndfast. På $57\mathrm{cm}$ avstand spenner $1\mathrm{cm}$ ut omtrent én grad synsvinkel [35] – regn selv etter med $\tan v=1/57$, som gir $v\approx 1.005\mathrm{°}$. På den avstanden er altså sykler per centimeter på gitteret det samme som sykler per grad.

Kobler vi tilbake til synsstyrke, lukkes en sirkel fra kapittelet om eksponentialfunksjoner og logaritmer. Ved $30$ sykler per grad dekker én syklus $1\mathrm{°}/30=2^{\prime }$, så én enkelt stripe – en halv syklus – spenner $1^{\prime }$. Det er nøyaktig MAR ved $6/6$: den minste detaljen et normalt øye skiller. Netthinnens tettpakkede sanseceller setter en øvre grense rundt $60$ sykler per grad, der én stripe er nede i et halvt bueminutt [36, s. 1518]. Den grensen kommer av hvor tett sansecellene ligger, og kapittelet om bølgeoptikk regner den ut av tappmosaikkens egen tetthet.

Måler man kontrastfølsomheten ved mange romlige frekvenser, tegner svarene opp kontrastfølsomhetskurven. Den er høyest – øyet er mest følsomt – for mellomstore frekvenser, noen få sykler per grad, og faller mot både lavere og høyere frekvenser [37, s. 553]. Selve kontrasten kan tallfestes, men den fulle behandlingen med luminans og enheter hører til et senere kapittel; her holder vi kurven kvalitativ og lar sinusformen være poenget.