Trigonometriske definisjoner i rettvinklede trekanter

Husk fra pilhøyde-utledningen i kapittelet om funksjoner og grafer at en rettvinklet trekant har to kateter – de to sidene om den rette vinkelen – og en hypotenus, den lengste siden, motstående den rette vinkelen. Der brukte vi Pythagoras’ setning; her gir vi trekanten full behandling.

Vi følger standardkonvensjonen: hjørnene navngis $A$, $B$, $C$, og siden motstående hvert hjørne får samme lille bokstav – $a$ motstående $A$, og så videre. Vi lar den rette vinkelen ligge i $C$, slik at hypotenusen er $c$. Se nå på den spisse vinkelen $A$. Av de to katetene ligger den ene rett overfor $A$ – den kaller vi den motstående kateten – og den andre inntil $A$ – den hosliggende kateten.

De tre grunnleggende forholdene er da definert slik. Sinus til $A$ er motstående katet delt på hypotenusen, cosinus er hosliggende delt på hypotenusen, og tangens er motstående delt på hosliggende:

Et minneord samler de tre: sinus–motstående–hypotenus, cosinus–hosliggende–hypotenus, tangens–motstående–hosliggende. Fordi $\tan A$ er motstående over hosliggende og de to andre har hypotenusen i nevneren, gjelder alltid $\tan A=\sin A/\cos A$.

Forholdene avhenger bare av vinkelen, ikke av hvor stor trekanten er: forstørrer du trekanten, vokser alle sidene i takt, og forholdene mellom dem står stille. Det er derfor sinus, cosinus og tangens kan behandles som funksjoner av vinkelen alene.

Dette innfrir også et løfte fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer. Der ble cosinus og sinus gitt som en kort forklaring – koordinatene til punktet én enhet ut fra origo i retningen $\theta$. Setter vi et slikt punkt inn i en rettvinklet trekant med hypotenus $1$, blir den vannrette koordinaten den hosliggende kateten og den loddrette den motstående; da er $\cos \theta$ og $\sin \theta$ nøyaktig disse koordinatene. De to beskrivelsene er én og samme, sett fra hver sin kant.

For noen få vinkler kan vi lese forholdene rett av geometrien, uten kalkulator. Disse er verdt å kunne – de dukker opp i utledninger og gir en rimelighetssjekk på det kalkulatoren spytter ut. Kapittelet om vektorer og koordinatsystemer oppga dem som kjensgjerninger og lovte en utledning her; den kommer nå.

Start med en likesidet trekant med side $2$. Alle vinklene er $60\mathrm{°}$. Deler vi den i to med en loddrett strek fra toppen, får vi en rettvinklet trekant med hypotenus $2$, kortere katet $1$ (halve grunnlinja) og vinkler $30\mathrm{°}$, $60\mathrm{°}$, $90\mathrm{°}$. Den siste kateten finner vi med Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Nå kan vi lese av alle forholdene for $30\mathrm{°}$ og $60\mathrm{°}$. For $60\mathrm{°}$-vinkelen (nede til venstre) er $\sqrt{3}$ motstående og $1$ hosliggende, mens for $30\mathrm{°}$-vinkelen (oppe) er rollene byttet. Med hypotenus $2$ gir det

For $45\mathrm{°}$ tar vi et kvadrat med side $1$ og deler det langs diagonalen. Det gir en rettvinklet, likebeint trekant med begge kateter $1$ og hypotenus $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, og med begge spisse vinkler $45\mathrm{°}$.

Her er motstående og hosliggende like, så

Samlet gir de to spesialtrekantene denne tabellen, verdt å ha i minne:

For alle andre vinkler slår du forholdet opp med kalkulator. Pass da på én ting: kalkulatoren må stå i gradmodus (ofte merket DEG) når vinkelen er oppgitt i grader. Står den i radianmodus, får du et helt annet – og galt – svar. Dette er en av de vanligste feilkildene i trigonometriregning.

Så langt har vi gått fra vinkel til forhold. Ofte trenger vi den andre veien: forholdet er kjent, og vi vil ha vinkelen. Det gjør de inverse trigonometriske funksjonene. Arcsin av et tall er den vinkelen som har det tallet som sinus; tilsvarende gir arccos vinkelen med en gitt cosinus og arctan vinkelen med en gitt tangens. Kort sagt: $\arcsin x$ er «vinkelen som har sinus $x$», og

og likeens for de to andre.

Du ser noen ganger skrivemåten ${\sin }^{-1}$ for det samme. Boken bruker $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ i stedet, for å unngå en fallgruve: ${\sin }^{-1}$ kan leses som $1/\sin$, altså den resiproke, og det er noe helt annet enn den inverse funksjonen. Navnene med «arc» foran har ingen slik tvetydighet.

Det var arctan vi brukte – uten å døpe den – da vi løste synsvinkelformelen for $v$. Nå kan vi bruke den bevisst.

Trigonometrien gir også den presise broen mellom prismets styrke og vinkelen det bøyer lyset gjennom. Husk fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer at én prismedioptri, $1^{\mathrm{\Delta }}$, er den avbøyningen som forskyver strålen én centimeter på én meters avstand. Forskyvningen og avstanden er nettopp motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant, med avbøyningsvinkelen $v$ ved prismet – så $\tan v$ er forskyvningen delt på avstanden.

Måler vi forskyvningen i centimeter og avstanden i meter, er $1^{\mathrm{\Delta }}$ per definisjon $\tan v=1/100$. En avbøyning på $P$ prismedioptrier svarer da til $\tan v=P/100$, altså

Setter vi $P=1$, finner vi vinkelen bak én prismedioptri:

Motsatt svarer $1\mathrm{°}$ til $100\tan 1\mathrm{°}\approx {1.75}^{\mathrm{\Delta }}$. Det gir en grov tommelfingerregel: rundt to prismedioptrier per grad [33]. Regelen har to atskilte feilkilder, og det lønner seg å holde dem fra hverandre. Den ene er ren avrunding: den eksakte faktoren er $1.75$, ikke $2$, så regelen ligger omtrent $15\mathrm{\%}$ for høyt – og det gjør den ved alle vinkler, også de aller minste. Den feilen forsvinner altså ikke om du krymper vinkelen. Den andre er tangensens krumning: fordi $\tan$ vokser stadig raskere jo nærmere $90\mathrm{°}$ vinkelen kommer, trekkes den sanne verdien oppover og spiser etter hvert opp avrundingsoverskuddet – omkring $35\mathrm{°}$ møtes de to, og for større vinkler ligger regelen for lavt i stedet, til den lineære formen bryter helt sammen. Det som gjør regelen brukbar i klinikken, er derfor ikke at den treffer godt relativt sett, men at den absolutte bommen holder seg liten så lenge vinklene er små: en fjerdedels prismedioptri ved $1\mathrm{°}$.

For små vinkler er det ikke tilfeldig at tangensen og vinkelen selv ligger så tett. Småvinkeltilnærmingen sier at for en liten vinkel $v$ målt i radianer gjelder

og den er lett å tro på geometrisk: for en liten bue er buen, korden og tangentstykket nesten umulige å skille. Tallene bekrefter det. Ett bueminutt er $0.00029089$ rad, og $\tan 1^{\prime }=0.00029089$ – like til fem siffer. Det er nettopp derfor synsvinkelen kan behandles som $v\approx h/d$ (med $v$ i radianer) uten merkbart tap: de kliniske vinklene er så små at forskjellen på vinkelen og dens tangens forsvinner langt under målenøyaktigheten.