Plane figurer: areal og omkrets

Omkretsen til en plan figur er lengden rundt kanten; arealet er størrelsen på flaten den lukker inne. De to grunnfigurene å ha på plass er rektangelet og trekanten.

Et rektangel med lengde $l$ og bredde $b$ har omkrets og areal

Omkretsen er de fire sidene lagt sammen, og arealet teller hvor mange enhetsruter som får plass – $l$ ruter bortover, $b$ oppover. Et parallellogram – en firkant der begge par motstående sider er parallelle, som du møtte i vektorseksjonen i kapittelet om vektorer og koordinatsystemer – har areal $A=g\cdot h$, der $g$ er en grunnlinje og $h$ er høyden vinkelrett fra grunnlinja opp til den motstående siden. Skyver du det skjeve parallellogrammet vannrett tilbake til et rektangel, flytter du bare flate uten å endre den; rektangelet er spesialtilfellet der sidene står vinkelrett.

For trekanten er arealet halvparten så stort som for parallellogrammet med samme grunnlinje og høyde – to like trekanter fyller nettopp ett parallellogram. Med grunnlinje $g$ og høyde $h$ vinkelrett på den er da

Ofte kjenner du ikke høyden direkte, men to sider og vinkelen mellom dem. Da henter trigonometrien fram høyden. Har trekanten sidene $a$ og $b$ med den mellomliggende vinkelen $C$, og vi bruker $b$ som grunnlinje, er høyden ned fra det tredje hjørnet nettopp $h=a\sin C$ – den motstående kateten i den rettvinklede trekanten vi feller fra toppen. Setter vi det inn i $\frac{1}{2}gh$, får vi

Dette er en av de mest brukbare arealformlene i praksis, for et side–vinkel–side-oppsett er ofte alt du har. Legg merke til at den favner rektangelet og den rettvinklede trekanten som spesialtilfeller: er $C=90\mathrm{°}$, er $\sin C=1$, og $a$ og $b$ er selv høyde og grunnlinje.

Husk fra seksjonen om vinkler og vinkelmål at $\pi$ er forholdet mellom en sirkels omkrets og dens diameter, og at omkretsen derfor er

der $r$ er radien. Arealet av sirkelen er

Formelen kan vi gjøre plausibel uten kalkulus. Del sirkelen i mange tynne, like sektorer, som lagene i en oppskåret pai, og legg dem vekselvis opp og ned inntil hverandre. Da nærmer figuren seg et rektangel: den ene siden er halve omkretsen, $\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=\pi r$, og den andre er radien $r$. Rektangelarealet blir $\pi r\cdot r=\pi r^2$, og jo tynnere sektorene er, jo bedre stemmer tilnærmingen.

Nå innfrir vi løftet fra seksjonen om vinkler og vinkelmål – at radianen skulle vise seg verdt bryet nettopp for buer. En sektor er kakestykket mellom to radier; buen langs sirkelkanten er sektorens ytterkant. Måler du sentralvinkelen $\theta$ i radianer, følger buelengden rett av definisjonen $\theta =s/r$, snudd om:

Sektorarealet finner vi ved et brøkdel-argument. En full omdreining er $2\pi$ radianer og dekker hele sirkelarealet $\pi r^2$; en sektor med vinkel $\theta$ dekker brøkdelen $\theta /(2\pi )$ av runden, altså samme brøkdel av arealet:

Begge formlene, $s=r\theta$ og $A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$, er reine – ingen slepende faktor. Det er lønnen for å måle vinkelen i radianer. Insisterer du derimot på grader, må brøkdelen skrives $\theta /360\mathrm{°}$, og formlene blir

der faktoren $2\pi /360=\pi /180$ alltid henger med. Nettopp dette rotet er grunnen til at radianen er det naturlige vinkelmålet: velger du det, forsvinner faktoren.

Pupillen – åpningen i regnbuehinnen som slipper lys inn i øyet – er tilnærmet sirkulær, og mengden lys den slipper gjennom er proporsjonal med arealet av åpningen, ikke med diameteren. Det er en klinisk viktig forskjell, for pupillen styres i praksis ved diameteren: den trekker seg sammen til om lag $2\mathrm{mm}$ i sterkt lys og utvider seg til rundt $8\mathrm{mm}$ i mørke [38]. Fordi arealet av en sirkel med diameter $d$ er

vokser det med kvadratet av diameteren. En dobling av diameteren firedobler arealet – og dermed lysinnslippet. Den koblingen mellom pupilleareal og lysmengden som når netthinnen kommer tilbake med tall og enhet (troland) i kapittelet om fotometri; her er poenget den geometriske: lys skaleres med areal.