Kapittel 5 · Trigonometri og geometri · 5.6

Sinussetningen og cosinussetningen

De trigonometriske forholdene ble definert for rettvinklede trekanter, men de fleste trekanter i verden er ikke rettvinklede. To setninger utvider regnekraften til en vilkårlig trekant: sinussetningen og cosinussetningen. Med dem kan du finne alle sider og vinkler i en trekant så snart du kjenner nok av dem – det vi kaller å løse trekanten.

Først en notasjon vi holder oss til resten av seksjonen. En trekant har tre hjørner, som vi navngir med store bokstaver $A$ , $B$ , $C$ ; vinkelen ved et hjørne betegnes med samme bokstav. Siden som ligger motstående et hjørne, får hjørnets lille bokstav: $a$ ligger overfor $A$ , $b$ overfor $B$ , $c$ overfor $C$ . Vinkelsummen i en trekant er alltid $A+B+C=180°$ .

Figur 5.13: Navnekonvensjonen: hver side får den lille bokstaven til hjørnet den ligger overfor.

Sinussetningen

Sinussetningen sier at i enhver trekant er forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen det samme for alle tre:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.

Den utleder vi ved å felle en høyde. Slipp en loddrett strek $h$ fra hjørnet $C$ ned på siden $c$ ; den deler trekanten i to rettvinklede trekanter, begge med $h$ som en katet.

Figur 5.14: Høyden

h

fra

C

er den felles kateten i de to rettvinklede halvdelene.

Se på hver halvdel for seg. I den venstre er $h$ motstående vinkelen $A$ og $b$ er hypotenusen, så $\sin A=h/b$ , altså $h=b\sin A$ . I den høyre er $h$ motstående $B$ og $a$ er hypotenusen, så $h=a\sin B$ . De to uttrykkene for samme høyde må være like:

b\sin A=a\sin B\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.

Feller vi høyden fra et annet hjørne i stedet, faller det tredje forholdet på plass på samme vis.

Sinussetningen passer når du kjenner en side og dens motstående vinkel – da har du ett fullt forhold og kan finne resten. Det gjelder når to vinkler og en side er kjent (da gir vinkelsummen den tredje vinkelen), eller når to sider og en motstående vinkel er kjent. Det siste tilfellet krever en advarsel.

Det tvetydige tilfellet

Kjenner du to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, kan oppsettet svare til null, én eller to trekanter. Grunnen er supplementsammenhengen fra forrige seksjon: når du løser sinussetningen for en ukjent vinkel og får for eksempel $\sin B=0.76$ , passer både en spiss vinkel og dens supplement, for de har samme sinus. Du må da undersøke begge og sjekke om vinkelsummen fortsatt går opp. Får du $\sin B>1$ , finnes ingen trekant i det hele tatt. Dette er verdt å ha i bakhodet hver gang du bruker sinussetningen til å finne en vinkel.

Eksempel 5.6.1

En landmåler vil bestemme avstanden over en elv til et tre $C$ på den andre bredden. Fra et punkt $A$ måler hun vinkelen $40°$ til treet, går $50\text{\,}\mathrm{m}$ langs bredden til et punkt $B$ , og måler der vinkelen $75°$ til det samme treet. Hvor langt er det fra $A$ til treet?

Løsning: Avstanden $A C$ ligger overfor $B$ , så vi kaller den $b$ ; den kjente strekningen $AB=$50\text{\,}\mathrm{m}$$ ligger mellom de to målte vinklene og er dermed side $c$ , motstående $C$ . Først gir vinkelsummen den tredje vinkelen:

C=180°−40°−75°=65°.

Så gir sinussetningen $b$ fra det kjente forholdet $c/\sin C$ :

b=csinBsinC=50⋅sin75°sin65°≈53.3 m.

Her lå den kjente siden $c$ mellom de to kjente vinklene, så trekanten er entydig bestemt – ingen tvetydighet å bekymre seg for.

Cosinussetningen

Sinussetningen strekker ikke til når du kjenner tre sider, eller to sider og vinkelen mellom dem – da mangler du et helt side–vinkel-par å starte fra. Der trår cosinussetningen inn:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,

og tilsvarende for de andre sidene ved å bytte om bokstavene. Den utleder vi med koordinater. Legg hjørnet $C$ i origo og siden $a$ langs den positive $x$ -aksen, slik at hjørnet $B$ havner i $(a,0)$ . Hjørnet $A$ ligger da en avstand $b$ ut fra origo i retningen $C$ , så koordinatene er $A=(b\cos C,b\sin C)$ – nettopp enhetssirkeltenkningen, skalert med $b$ .

Figur 5.15: Med

C

i origo og

a

langs

x

-aksen blir

c

en ren avstand mellom to punkter.

Nå er $c$ ganske enkelt avstanden mellom $A$ og $B$ . Avstandsformelen fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer gir

	$\displaystyle c^{2}$	$\displaystyle=(b\cos C-a)^{2}+(b\sin C-0)^{2}$
		$\displaystyle=b^{2}\cos^{2}C-2ab\cos C+a^{2}+b^{2}\sin^{2}C$
		$\displaystyle=a^{2}+b^{2}(\cos^{2}C+\sin^{2}C)-2ab\cos C.$

Grunnidentiteten fra forrige seksjon gjør parentesen til $1$ , og igjen står

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.

Se hva som skjer når $C=90°$ : da er $\cos C=0$ , leddet $-2ab\cos C$ forsvinner, og setningen blir $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ – Pythagoras’ setning. Cosinussetningen er altså en generalisering av Pythagoras til trekanter uten rett vinkel, og korreksjonsleddet $-2ab\cos C$ måler nøyaktig hvor mye vinkelen avviker fra rett.

Løser du i stedet for vinkelen, snur du setningen om:

\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}.

Da kan du finne en vinkel så snart alle tre sidene er kjent.

Eksempel 5.6.2

En trekant har sidene $a=8$ , $b=5$ og $c=7$ . Finn vinkelen $C$ som ligger overfor siden $c$ .

Løsning: Alle tre sidene er kjent, men ingen vinkel – da kan ikke sinussetningen starte, for den trenger et side–vinkel-par. Vi bruker cosinussetningen løst for vinkelen:

\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{1}{2}.

Fra tabellen kjenner vi igjen $\cos C=\tfrac{1}{2}$ , så

C=60°.

At svaret falt på en glatt tabellverdi, avslører en spesielt ren trekant; hadde vi valgt sidene $6$ , $10$ og $14$ i stedet, ville $\cos C=-\tfrac{1}{2}$ gitt en stump vinkel på $120°$ .

Å løse en trekant: å velge riktig verktøy

Å løse en trekant er å finne alle de ukjente sidene og vinklene. Nøkkelen er å velge riktig setning ut fra hva som er gitt:

•

Er tre sider kjent (SSS), eller to sider og vinkelen mellom dem (SAS), starter du med cosinussetningen – den er den eneste som kommer i gang uten et side–vinkel-par.
•

Er to vinkler og en side kjent, eller to sider og en motstående vinkel, bruker du sinussetningen – og husker det tvetydige tilfellet når vinkelen ikke ligger mellom sidene.

Ofte bruker du begge etter tur: cosinussetningen for det første ukjente, så sinussetningen for resten.

Disse setningene hører hjemme overalt der en avstand eller vinkel ikke kan måles direkte – klassisk i landmåling, der man bestemmer avstanden til et utilgjengelig punkt fra en målt basislinje og et par vinkler. På optometriens grunnivå er de genuine anvendelsene få: kombinerer man to prismer, blir resultatet som regel funnet med Pythagoras, fordi de kliniske komponentene står vinkelrett på hverandre – det så du med vektorene i kapittelet om vektorer og koordinatsystemer. Bare når prismer krysses i skrå, ikke-vinkelrette retninger, må cosinussetningen fram; det er et nisjetilfelle vi ikke forfølger her. Vi holder derfor eksemplene ærlig geometriske og hverdagslige.

Eksempel 5.6.3

I en trekant er $a=6$ , $b=8$ og vinkelen $A=35°$ – en vinkel som ligger overfor den korteste av de to gitte sidene. Avgjør om oppsettet gir null, én eller to trekanter, og finn vinkelen $B$ i hvert gyldige tilfelle.

Løsning: Vinkelen $A$ ligger ikke mellom de to sidene, så dette er det tvetydige tilfellet – vi må lete etter både en spiss og en stump $B$ . Sinussetningen gir sinus til $B$ :

sinB=bsinAa=8⋅sin35°6≈0.765.

Siden $\sin B<1$ , finnes minst én løsning. Supplementsammenhengen $sin(180°−B)=sinB$ gir to kandidater:

	$\displaystyle B_{1}$	$=arcsin0.765≈49.9°,$
	$\displaystyle B_{2}$	$=180°−49.9°=130.1°.$

Nå sjekker vi vinkelsummen for hver. For $B_{1}$ : $A+B1=35°+49.9°=84.9°<180°$ – gyldig. For $B_{2}$ : $A+B2=35°+130.1°=165.1°<180°$ – også gyldig, siden det er plass til en tredje vinkel på $14.9°$ . Altså finnes to trekanter, én med $B≈49.9°$ og én med $B≈130.1°$ . Til kontrast: var $a=4$ , $b=10$ og $A=30°$ , ville $sinB=10sin30°/4=1.25>1$ , og da finnes ingen trekant.

Oppgaver

Oppgave 5.6.1

En landmåler måler fra $A$ vinkelen $40°$ til et fjernt punkt $C$ , går $60\text{\,}\mathrm{m}$ langs en rett linje til $B$ , og måler der vinkelen $75°$ til $C$ .

a)

Finn vinkelen ved $C$ .
b)

Bruk sinussetningen til å finne avstanden $B C$ .

Løsningsforslag

Oppgave 5.6.1:

a)

Vinkelsummen gir $C=180°−40°−75°=65°$ .
b)

Avstanden $B C$ ligger overfor hjørnet $A$ , så $BC=a$ ; den kjente strekningen $AB=$60\text{\,}\mathrm{m}$$ ligger overfor $C$ og er dermed side $c$ . Sinussetningen gir

$a=csinAsinC=60⋅sin40°sin65°≈42.6 m.$

Oppgave 5.6.2

To målestenger står med en vinkel på $60°$ mellom seg, sett fra et felles punkt. Den ene når $7\text{\,}\mathrm{m}$ ut, den andre $5\text{\,}\mathrm{m}$ .

a)

Hvilken setning passer når to sider og vinkelen mellom dem er kjent?
b)

Finn avstanden mellom de to endepunktene.

Løsningsforslag

Oppgave 5.6.2:

a)

Cosinussetningen – med to sider og den mellomliggende vinkelen (SAS) finnes ikke noe kjent side–vinkel-par, så sinussetningen kommer ikke i gang.
b)

Med $a=$7\text{\,}\mathrm{m}$$ , $b=$5\text{\,}\mathrm{m}$$ og $C=60°$ , der $cos60°=12$ :

$c2=72+52−2⋅7⋅5⋅cos60°=74−35=39,$

så avstanden mellom endepunktene er $c=\underline{\underline{\sqrt{39}\,$\mathrm{m}$\approx$6.2\text{\,}\mathrm{m}$}}$ .

Oppgave 5.6.3

En trekant har sidene $a=8$ , $b=5$ og $c=7$ .

a)

Hvilken av setningene passer når alle tre sidene er kjent, og hvorfor kan ikke sinussetningen starte?
b)

Finn vinkelen $C$ overfor siden $c$ eksakt, og kjenn igjen standardverdien for $\cos C$ .

Løsningsforslag

Oppgave 5.6.3:

a)

Cosinussetningen, løst for vinkelen. Sinussetningen kan ikke starte fordi den trenger et fullt side–vinkel-par – her er alle tre sidene kjent, men ingen vinkel.
b)

Cosinussetningen løst for vinkelen gir

$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2},$

og $\cos C=\tfrac{1}{2}$ er standardverdien for $60°$ , så $C=60°$ . Kontroll: med $C=60°$ gir cosinussetningen tilbake $c=\sqrt{89-40}=7$ .

Oppgave 5.6.4

En medstudent skal finne den lengste siden i en trekant der de to korteste sidene er $a=6$ og $b=8$ og vinkelen mellom dem er $C=90°$ . Hun skriver: «Siden dette er en rettvinklet trekant, kan jeg hoppe over cosinussetningen og bruke Pythagoras.»

a)

Har hun rett? Regn ut $c$ på begge måter og sammenlign.
b)

Forklar med utgangspunkt i cosinussetningen hvorfor Pythagoras er et spesialtilfelle.

Løsningsforslag

Oppgave 5.6.4:

a)

Ja, hun har rett. Pythagoras: $c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ . Cosinussetningen: $c2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos90°=100−0=100$ , så $c=\underline{\underline{10}}$ på begge måter – de to regningene gir nøyaktig samme svar.
b)

I cosinussetningen $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ er korreksjonsleddet $-2ab\cos C$ det eneste som skiller den fra Pythagoras. Når $C=90°$ , er $\cos C=0$ , leddet forsvinner, og setningen reduseres til $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ . Pythagoras’ setning er altså spesialtilfellet av cosinussetningen for rett vinkel, og snarveien er derfor ikke en annen metode, men den samme.

Oppgave 5.6.5

Lag din egen trekantoppgave slik at løsningen krever cosinussetningen minst én gang og sinussetningen minst én gang.

a)

Oppgi to sider og den mellomliggende vinkelen (SAS) med runde tall du velger selv.
b)

Finn den tredje siden med cosinussetningen.
c)

Finn en av de gjenværende vinklene med sinussetningen, og forklar hvorfor du unngår det tvetydige tilfellet når du velger å finne vinkelen som ligger overfor den korteste siden.

Løsningsforslag

Oppgave 5.6.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: i c) skal begrunnelsen få fram at vinkelen overfor den korteste siden alltid er spiss – da er den spisse løsningen fra sinussetningen den eneste gyldige, og det tvetydige tilfellet oppstår ikke.

Alle løsningsforslag til kapittel 5