Kapittel 5 · Trigonometri og geometri · 5.8

Tredimensjonal geometri

Til nå har figurene ligget flatt i planet. Øyet, hornhinnen og kontaktlinsen er romlige, og for å regne på dem trenger vi volum og overflate av legemer – og en spesiell krum flate, kulekalotten, som viser seg å være nettopp pilhøyde-geometrien fra kapittelet om funksjoner, sett på ny.

Volum og overflate

Volumet til et legeme er hvor mye rom det fyller; overflaten er det samlede arealet av alle flatene som avgrenser det. Den enkleste er den rette boksen – et rett prisme med rektangulær grunnflate – med lengde $l$ , bredde $b$ og høyde $h$ . Volumet er grunnflaten ganger høyden, og overflaten er summen av de seks sidene, parvis like:

V=lbh,\qquad O=2(lb+lh+bh).

En sylinder med radius $r$ og høyde $h$ følger samme tanke: volumet er grunnflaten – nå en sirkel med areal $\pi r^{2}$ – ganger høyden. Overflaten er de to sirkulære endeflatene pluss den krumme mantelen, som rullet ut er et rektangel med bredde lik omkretsen $2\pi r$ og høyde $h$ :

V=\pi r^{2}h,\qquad O=2\pi r^{2}+2\pi rh.

Ingen av disse krever noe utover det vi allerede har.

Kula er derimot annerledes. En kule med radius $r$ har volum og overflate (kuleflate)

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3},\qquad O=4\pi r^{2}.

Disse to oppgir vi uten full utledning: en stringent utledning krever integrasjon, som først kommer i kapittelet om kalkulus. Du kan likevel gjøre dem plausible. At volumet må gå som $r^{3}$ og flaten som $r^{2}$ , følger av ren dimensjonstenkning – et volum er en lengde i tredje potens, et areal en lengde i andre. Tallfaktoren $\tfrac{4}{3}\pi$ i volumet er det integrasjonen fastsetter; den tar vi på forskudd her og gjør opp regnskapet for i neste kapittel. Faktoren $4\pi$ i kuleflaten forblir oppgitt også der, men kalkulusen gjør den rimelig – flaten viser seg å være den deriverte av volumet med hensyn på radien.

Eksempel 5.8.1

Et sylindrisk hetteglass for kontaktlinsevæske har indre radius $6\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ og høyde $25\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . Finn rominnholdet og det totale indre overflatearealet.

Løsning: Vi bruker sylinderformlene, med volum som grunnflate ganger høyde:

V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 6^{2}\cdot 25\approx\underline{\underline{$2827\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$}}.

Det er $2827\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$\approx$2.83\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ . Overflaten er de to endeflatene pluss mantelen:

O=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi\cdot 36+2\pi\cdot 6\cdot 25\approx\underline{\underline{$1169\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$}}.

Mantelen alene, $2\pi rh\approx$942\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$$ , utgjør det meste – et høyt, smalt glass har langt mer vegg enn bunn og lokk.

Kulekalotten

Skjærer du av en kule med et plan, deler du kuleflaten i to buede lokk. Hvert slikt lokk er en kulekalott. Kalotten beskrives av to mål: kalotthøyden $s$ , den vinkelrette dybden fra planet opp til kulens topp, og grunnflateradien $y$ , radien i det sirkulære snittet der planet kutter.

Her møter du en gammel kjenning. Husk fra pilhøyde-utledningen i kapittelet om funksjoner og grafer at dybden fra korden inn til buens dypeste punkt – pilhøyden – på en sirkel med radius $r$ er

s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}},

der $y$ er halve kordelengden. Kalotthøyden er nøyaktig den samme størrelsen, nå på en kule i stedet for en sirkel: tar du et tverrsnitt gjennom kulens sentrum, er kalotten en sirkelbue, og $s$ er buens pilhøyde over grunnflatekorden.

Figur 5.18: Tverrsnitt gjennom kula: kalotthøyden

s

og grunnflateradien

y

ved krumningsradius

r

Kalottens krumme areal – selve det buede lokket, uten grunnflateskiven – er

A=2\pi rs.

Vi oppgir den uten utledning av samme grunn som kuleflaten: den hviler på integrasjon. Men den har en slående egenskap verdt å legge merke til. Arealet er lineært i høyden $s$ : to kalotter av samme høyde på samme kule har nøyaktig samme krumme areal, uansett om de sitter ved polen eller nær ekvator. Skjærer du kula i skiver av lik tykkelse, får hvert kulebelte mellom to skiver samme flateareal.

Eksempel 5.8.2

Hornhinnens fremre flate modelleres som en kulekalott med sentral krumningsradius $r=$7.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ [31, tab. 2.1, s. 10] og en korde lik den konvensjonelt oppgitte vannrette hornhinnediameteren, $11.7\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ [39]. Finn kalotthøyden (den sentrale dybden) og kalottens krumme areal, og angi hvor stor brøkdel den utgjør av en hel kuleflate med samme radius.

Løsning: Grunnflateradien er halve korden, $y=$5.85\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ . Kalotthøyden er pilhøyden fra kapittelet om funksjoner:

	$\displaystyle s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}$	$\displaystyle=7.8-\sqrt{7.8^{2}-5.85^{2}}$
		$\displaystyle\approx\underline{\underline{$2.64\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

Det krumme arealet er da

A=2\pi rs=2\pi\cdot 7.8\cdot 2.64\approx\underline{\underline{$129\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$}}.

En hel kuleflate med samme radius har areal $4\pi r^{2}=4\pi\cdot 7.8^{2}\approx$765\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$$ , så kalotten utgjør brøkdelen

\frac{129}{765}\approx 0.17,

altså om lag $17\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av en full kuleflate. Den fremre hornhinnen er med andre ord bare et lite lokk av den kula dens krumning definerer.

Øyet i tall

Til slutt setter vi geometrien på øyet som helhet. Husk fra kapittelet om algebra at øyemodellen der la all brytningen i ett plan ved hornhinnen og satte netthinneavstanden $L$ til om lag $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . Med den forenklingen er $L$ nettopp aksiallengden: avstanden fra hornhinnens front til netthinnen bak, om lag $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ for et voksent øye. De $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ er et avrundet tall: i en befolkningsbasert studie av voksne mellom 40 og 80 år lå snittet like under, på $23.7\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ [40]. Kapittelet om øyets fysikk og anatomi bruker en finere modell der de to skilles; her holder den grove. Øyeeplet er nær kuleformet, så vi kan bruke det til et grovt volumanslag – og til å se hvor langt en så enkel modell rekker.

Eksempel 5.8.3

Aksiallengden til et voksent øye er om lag $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . En student modellerer øyeeplet som en kule med diameter $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ og regner ut volumet.

a)

Utfør studentens regning.
b)

Normalverdien for øyeeplets volum er om lag $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ [41]. Er modellens svar for høyt eller for lavt, og med hvor mye?
c)

Foreslå én grunn til at en perfekt kule bommer, og hvilken kulediameter som ville truffet $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ bedre.

Løsning: For a) er radien halve diameteren, $r=$12\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , og kulevolumet blir

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi\cdot 12^{3}\approx$7238\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$=\underline{\underline{$7.24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$}}.

For b): modellens $7.24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ er for høyt sammenlignet med normalverdien $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ , med om lag $0.7\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ – rundt $11\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ for mye. For c): øyet er ikke en perfekt kule. Globusen er ikke helt kuleformet: CT-mål av 250 voksne med friske øyne gir om lag $24.2\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ på tvers, $23.7\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ opp–ned og $22.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ til $24.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ langs aksen [42], så en kule bygd på aksiallengden alene gjenskaper ikke formen. En kule med diameter $23\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ gir $\tfrac{4}{3}\pi\cdot 11.5^{3}\approx$6.37\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$$ , langt nærmere normalverdien. Modellen er altså grei til et overslag, men ikke til presist arbeid – et ærlig eksempel på at en geometrisk modell kan bomme systematisk når legemet avviker fra idealformen.

Oppgaver

Oppgave 5.8.1

Et rektangulært linseetui har indre mål lengde $30\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ , bredde $20\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ og høyde $10\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ .

a)

Regn ut det indre volumet.
b)

Regn ut det samlede indre overflatearealet.

Løsningsforslag

Oppgave 5.8.1:

a)

Volumet av en rett boks er grunnflaten ganger høyden:

$V=lbh=30\cdot 20\cdot 10=\underline{\underline{$6000\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$}},$

som svarer til $6.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ .
b)

Overflaten er summen av de seks sidene, parvis like:

$O=2(lb+lh+bh)=2(600+300+200)=\underline{\underline{$2200\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$}}.$

Oppgave 5.8.2

En bløt kontaktlinse har typiske mål: basiskurve (bakflateradius) $r=$8.6\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ og en optisk sone med kordediameter $12\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ .

a)

Finn linsens sag – pilhøyden $s$ over den optiske sonen.
b)

Finn det krumme arealet $2\pi rs$ av bakflaten over den optiske sonen.

Løsningsforslag

Oppgave 5.8.2:

a)

Grunnflateradien er halve korden, $y=$6\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ . Pilhøyden er

$s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=8.6-\sqrt{8.6^{2}-6^{2}}=8.6-\sqrt{37.96}\approx\underline{\underline{$2.44\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$
b)

Det krumme arealet av bakflaten over den optiske sonen er

$A=2\pi rs=2\pi\cdot 8.6\cdot 2.44\approx\underline{\underline{$132\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$}}.$

Oppgave 5.8.3

a)

Regn ut kalotthøyden $s$ .
b)

Regn ut kalottens krumme areal $2\pi rs$ .
c)

Sammenlign med arealet av hele kuleflaten $4\pi r^{2}$ , og angi hvor stor brøkdel kalotten utgjør.

Løsningsforslag

Oppgave 5.8.3:

a)

Grunnflateradien er halve korden, $y=$5.85\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , og kalotthøyden er pilhøyden

$s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=7.8-\sqrt{7.8^{2}-5.85^{2}}\approx\underline{\underline{$2.64\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$
b)

Kalottens krumme areal er

$A=2\pi rs=2\pi\cdot 7.8\cdot 2.64\approx\underline{\underline{$129\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$}}.$
c)

Hele kuleflaten har areal $4\pi r^{2}=4\pi\cdot 7.8^{2}\approx$765\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}$$ , så kalotten utgjør brøkdelen

$\frac{129}{765}\approx\underline{\underline{0.17}},$

altså om lag $17\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av en full kuleflate med samme radius.

Oppgave 5.8.4

Aksiallengden til et voksent øye er om lag $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . En student modellerer øyeeplet som en kule med diameter $24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ .

a)

Regn ut kulevolumet i milliliter.
b)

Normalverdien for øyeeplets volum er om lag $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ [41]. Er modellen for høy eller for lav, og med hvor mange prosent?
c)

Forklar minst én grunn til at en perfekt kule overestimerer, og finn hvilken kulediameter som treffer $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ best.

Løsningsforslag

Oppgave 5.8.4:

a)

Radien er halve diameteren, $r=$12\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , og kulevolumet blir

$V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi\cdot 12^{3}\approx$7238\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$=\underline{\underline{$7.24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$}}.$
b)

Modellens $7.24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ er for høy sammenlignet med normalverdien $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ : avviket er $7.24-6.5=$0.74\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$$ , som gir $0.74/6.5\approx\underline{\underline{$11\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}$ for mye.
c)

Globusen er ikke helt kuleformet: de tre diametrene – om lag $24.2\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ på tvers, $23.7\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ opp–ned og $22.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ til $24.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ langs aksen – skiller seg fra hverandre, så en kule bygd på aksiallengden alene gjenskaper ikke formen. Diameteren som treffer $6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$ , finner vi ved å løse $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}=$6500\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$$ :

$r^{3}=\frac{3\cdot 6500}{4\pi}\approx$1552\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}^{3}$,\qquad r\approx$11.6\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$,$

altså diameteren $d\approx\underline{\underline{$23.2\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}$ ; kontroll: $\tfrac{4}{3}\pi\cdot 11.6^{3}\approx$6.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{L}$$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 5