Trigonometriske identiteter

Den viktigste identiteten møtte du allerede i forrige seksjon, som en avlesning av enhetssirkelen. Punktet én enhet ut i retningen $v$ har koordinatene $(\cos v,\sin v)$, og siden det ligger på sirkelen med radius $1$, er avstanden fra origo lik $1$. Avstandsformelen fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer gir da $\sqrt{{\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v}=1$, og kvadrerer vi, står grunnidentiteten:

$${\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v=1.$$

Her betyr ${\sin }^{2}v$ det samme som ${(\sin v)}^2$ – den vante skrivemåten for kvadratet av en trigonometrisk verdi.

Overbevis deg om at dette bare er Pythagoras’ setning i ny drakt. Tegn punktet $(\cos v,\sin v)$ i første kvadrant og fell en loddrett strek ned til $x$-aksen. Du får en rettvinklet trekant med kateter $\cos v$ og $\sin v$ og hypotenus $1$ – og Pythagoras på den trekanten er nettopp ${\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$.

Fra grunnidentiteten kan du alltid finne den ene funksjonen når den andre og kvadranten er kjent: løs for $\sin v=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}v}$ og la kvadranten bestemme fortegnet. Og fra definisjonene følger tangens som kvotient – at tangens alltid er sinus delt på cosinus:

$$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}(\cos v\ne 0),$$

som vi allerede har brukt flere ganger; her får den navnet sitt som identitet.

To vinkler som til sammen blir $90\mathrm{°}$, kalles komplementvinkler. I en rettvinklet trekant er de to spisse vinklene nettopp komplementære, siden vinkelsummen er $180\mathrm{°}$ og den ene vinkelen er rett. Da er den enes motstående katet den andres hosliggende – og det gir komplementsammenhengen:

$$\sin (90\mathrm{°}-v)=\cos v,\cos (90\mathrm{°}-v)=\sin v.$$

Navnet cosinus bærer nettopp dette i seg: cosinus er «komplementets sinus».

To vinkler som til sammen blir $180\mathrm{°}$, kalles supplementvinkler, og for dem gjelder supplementsammenhengen. Den leser vi rett av enhetssirkelen: vinklene $v$ og $180\mathrm{°}-v$ gir punkter som er speilbilder om $y$-aksen, så de deler $y$-koordinat men har motsatt $x$-koordinat:

$$\sin (180\mathrm{°}-v)=\sin v,\cos (180\mathrm{°}-v)=-\cos v.$$

Denne siste sammenhengen ser uskyldig ut, men den er selve kjernen i det tvetydige tilfellet vi møter i neste seksjon: to ulike vinkler – en spiss og dens supplement – har nøyaktig samme sinus.

Ofte trenger vi sinus eller cosinus til en sum av to vinkler. Disse følger ikke av å legge sammen hver for seg – $\sin (u+v)$ er ikke $\sin u+\sin v$ – men av sumformlene (også kalt addisjonsformlene):

	$\sin (u+v)$	$=\sin u\cos v+\cos u\sin v,$
	$\sin (u-v)$	$=\sin u\cos v-\cos u\sin v,$
	$\cos (u+v)$	$=\cos u\cos v-\sin u\sin v,$
	$\cos (u-v)$	$=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$

Vi oppgir dem her uten å utlede dem. En ærlig geometrisk utledning krever en egen figurkonstruksjon som ville føre for langt; det du kan feste dem til, er rotasjonsformlene fra den stjernemerkede seksjonen i forrige kapittel. Å dreie et punkt vinkelen $u+v$ er det samme som å dreie det $u$ først og så $v$ til – og skriver du de to dreiningene etter hverandre med rotasjonsformlene, faller nettopp sumformlene ut. Er du fortrolig med de formlene, kan du regne det etter selv; hvis ikke, tar du sumformlene som gitte redskaper.

Setter vi $u=v$ i sumformlene, får vi dobbeltvinkelformlene – og disse utleder vi. Fra $\sin (u+v)$ med $u=v$:

$$\sin 2v=\sin v\cos v+\cos v\sin v=2\sin v\cos v.$$

Fra $\cos (u+v)$ med $u=v$:

$$\cos 2v={\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v.$$

Denne siste kan skrives på tre former, alle nyttige. Bruker vi grunnidentiteten til å bytte ut ${\cos }^{2}v=1-{\sin }^{2}v$, står

$$\cos 2v=1-2{\sin }^{2}v,$$

og bytter vi i stedet ${\sin }^{2}v=1-{\cos }^{2}v$, står

$$\cos 2v=2{\cos }^{2}v-1.$$

Hvilken form du velger, avhenger av hva du vil bli kvitt: den midterste fjerner all cosinus, den siste all sinus. Doble vinkler er ikke bare en øvelse – de dukker opp igjen når styrken til et sylinderglass skal regnes ut langs en skrå meridian i senere kapitler; her legger vi redskapet klart.